Phương trình hàm đa thức

      14

*
\left < 3^k.x^2k.Q(3x^2)+1 \right >=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2)+1,\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow x^3k.3^k.Q(x).Q(3x^2)+x^k.Q(x)+3^k.x^2k.Q(3x^2)=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow x^2k.3^k.Q(x).Q(3x^2)+Q(x)+3^k.x^k.Q(3x^2)=(3x^2+x)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbbR\;\;\;(3)" class="latex" />

Trong

*
ta mang
*
thì
*
. Xích míc với giải pháp đặt. Từ đó ta được 
*

Có hai đa thức hằng vừa lòng đề bài xích là 

*
*


Bài toán : Tìm tất cả các nhiều thức

*
hệ số thực và vừa lòng :

*

Lời giải :

Đặt

*
, trong
*
đến
*
:

*

Đặt

*
vào đó 
*
,Q(1)\neq 0" class="latex" />. Gắng vào
*
:

*
^2-2=2\left < (2x^2-2)^k.Q(2x^2-1)+a \right >,\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow (x-1)^2kQ^2(x)+2a(x-1)^k.Q(x)+a^2-2=2^k+1(x-1)^k.(x+1)^k.Q(2x^2-1)+2a,\;\forall x\in \mathbbR\Leftrightarrow (x-1)^k.Q^2(x)+2aQ(x)=2^k+1(x+1)^k.Q(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbbR\;\;(2)" class="latex" />

Trong

*
lại cho
*
được :

*

Mâu thuẫn với biện pháp đặt trên. Từ đó ta bao gồm :

*


Bài toán (Romania 2001) 

Tìm đa thức

*
thông số thực thỏa mãn :

*

Lời giải :

Dễ thấy đa thức hằng thỏa mãn.

Bạn đang xem: Phương trình hàm đa thức

Ta có :

*

Hơn nữa ta gồm :

*

Với

*
.

Từ đó suy ra :

*

Đặt

*
ta được :

*

Đặt 

*

Ta được :

*

Đồng nhất thông số của 

*
ta suy ra 
*

Dẫn cho :

*

Như vậy đáp số bài toán là :

*


Bài toán : Tìm tất cả các đa thức vừa lòng :

*

Lời giải :

Bổ đề : Nếu 

*
là đa thức thỏa mãn 
*
thì 
*

Chứng minh té đề :

Nếu

*
đồng điệu hằng số thì ta dễ dàng thấy 
*

Nếu

*
thì đặt 
*
.

Xem thêm: Kinh Nghiệm Đi Du Lịch Johor Bahru Đẹp, Rẻ, Thú Vị, Kinh Nghiệm Du Lịch Johor Bahru Malaysia: Ăn

Ta đi chứng tỏ

*
. Gỉa sử ngược lại, một trong các số 
*
.

Gọi

*

Ta có :

*
=P^2\left < (x-1)-1 \right >" class="latex" />

Do vậy trường hợp ta đặt 

*
thì :

*

Theo xẻ đề ta được :

*


Bài toán : Tìm các đa thức bao gồm dạng 

*
, trong đó 
*
và có những nghiệm số đông là nghiệm thực.